Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Пусть даны две плоскости
Первая плоскость имеет нормальный вектор (А 1 ;В 1 ;С 1), вторая плоскость (А 2 ;В 2 ;С 2).
Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому
─ условие параллельности плоскости.
Условие совпадения плоскостей:
,
так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.
Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или
А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0.
Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.
Угол между двумя плоскостями.
Угол между двумя плоскостями
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,
А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0
это угол между их нормальными векторами и , поэтому
cosj = 
= 
.
Прямая в пространстве.
Векторно-параметрическое уравнение прямой.
Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0) и имеющей направляющий вектор = (а 1 ;а 2 ;а 3).
Отложим из точки М 0 вектор 
. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а 
─ её радиус- вектор точки М 0 . Тогда 
, 
, поэтому 
. Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой.
В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х 0 ;у 0 ;z 0) + (а 1 ;а 2 ;а 3)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой
х = х 0 + а 1 t,
у = у 0 +а 2 t, (4)
Канонические уравнения прямой.
Из уравнений (4) выразим t:
t = , t = 
, t = 
,
откуда получаем канонические уравнения прямой
= = (5)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = 
(х 2 – х 1 ;у 2 – у 1 ;z 2 – z 1). Поскольку прямая проходит через точка М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде
(6)
Угол между двумя прямыми.
Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а 1 ;а 2 ;а 3) и 
.
Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому
cosj = 
= 
(7)
Условие перпендикулярности прямых:
а 1 в 1 + а 2 в 2 + а 3 в 3 = 0.
Условие параллельности прямых:
l,
. (8)
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть даны две прямые 
и 
.
Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и 
компланарны, т.е.
= 0 (9)
Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются.
Если же ¹ 0, то прямые являются скрещивающимися.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Прямая как пересечение двух плоскостей.
Пусть заданы две плоскости
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0,
А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0
Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие
.
Пусть, например ¹ .
Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости.
В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор
= × = 
= 
.
Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение
z = z 0 и решая систему
,
получаем значения х = х 0 , у = у 0 . Итак, искомая точка М(х 0 ;у 0 ;z 0).
Искомое уравнение
.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть задана прямая х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t
и плоскость
А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0.
Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений
А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,
(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.
Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, то система имеет единственное решение
t = t 0 = - 
.
В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), где
х 1 = х 0 + а 1 t 0 , y 1 = y 0 + a 2 t 0 , z 1 = z 0 + a 3 t 0 .
Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны.
Если же А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Для двух плоскостей возможны следующие варианты взаимного расположения: они параллельны или пересекаются по прямой линии.
Из стереометрии известно, что две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это условие называют признаком параллельности плоскостей .
Если две плоскости являются параллельными, то они пересекают какую-то третью плоскость по параллельным прямым. Исходя из этого у параллельных плоскостей Р и Q их следы являются параллельными прямыми (рис. 50).
В случае, когда две плоскости Р и Q параллельны оси х , их горизонтальные и фронтальные следы при произвольном взаимном расположении плоскостей будут параллельными оси х, т. е. взаимно параллельными. Следовательно, при таких условиях параллельность следов является достаточным признаком, характеризующим параллельность самих плоскостей. Для параллельности подобных плоскостей нужно убедиться в параллельности и профильных их следов P w и Q w . Плоскости Р и Q на рисунке 51 параллельны, а на рисунке 52 они не параллельны, несмотря на то что P v || Q v , и P h у || Q h .
В случае, когда плоскости параллельны, горизонтали одной плоскости параллельны горизонталям другой. Фронтали одной плоскости при этом должны быть параллельными фронталям другой, так как у этих плоскостей параллельны одноименные следы.
Для того чтобы построить две плоскости, пересекающиеся между собой, необходимо найти прямую, по которой пересекаются две плоскости. Для построения этой прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей.
Иногда, когда плоскость задана следами, найти данные точки легко с помощью эпюра и без дополнительных построений. Здесь известно направление определяемой прямой, и ее построение основывается на использовании одной точки на эпюре.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Лекция сведения о проекциях понятие проекций чтение чертежа.. центральная проекция.. представление о центральной проекции можно получить если изучить изображение которое дает человеческий глаз..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Понятие проекций
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементо
Параллельная проекция
Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.
При построении параллельных проекций нужно задать на
Проекции точки на две плоскости проекций
Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоск
Отсутствие оси проекций
Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между пр
Проекции точки на три плоскости проекций
Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, ког
Координаты точки
Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами. Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости пр
Проекции прямой
Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной
Следы прямой
След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).
Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H
Различные положения прямой
Прямую называют прямой общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпенд
Взаимное расположение двух прямых
Возможны три случая расположения прямых в пространстве:
1) прямые пресекаются, т. е. имеют общую точку;
2) прямые параллельны, т. е. не имеют общей точки, но лежат в одной плоскос
Перпендикулярные прямые
Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или лежит в ней), то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения.
Приведем доказательство для
Определение положения плоскости
Для произвольно расположенной плоскости проекции ее точек заполняют все три плоскости проекций. Поэтому не имеет смысла говорить о проекции всей плоскости целиком, нужно рассматривать лишь проекции
Следы плоскости
След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью (рис. 36).
Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называю
Горизонтали и фронтали плоскости
Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями
Построение следов плоскости
Рассмотрим построение следов плоскости Р, которая задана парой пересекающихся прямых I и II (рис. 45).
Если прямая находится на плоскости Р, то ее следы лежат на одноименных следах
Различные положения плоскости
Плоскостью общего положения называется плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости проекций. Следы такой плоскости также не параллельны и не перпендикулярны
Прямая, параллельная плоскости
Может быть несколько положений прямой относительно некоторой плоскости.
1. Прямая лежит в некоторой плоскости.
2. Прямая параллельна некоторой плоскости.
3. Прямая пересе
Прямая, пересекающая плоскость
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо построить линии пересечения двух плоскостей. Рассмотрим прямую I и плоскость Р (рис. 54).
Призма и пирамида
Рассмотрим прямую призму, которая стоит на горизонтальной плоскости (рис. 56).
Ее боковые гран
Цилиндр и конус
Цилиндр – это фигура, поверхность которого получается вращением прямой m вокруг оси i, расположенной в одной плоскости с этой прямой. В случае, когда прямая m
Шар, тор и кольцо
Когда некоторая ось вращения I является диаметром окружности, то получается шаровая поверхность (рис. 66).
Линии, применяемые в черчении
В черчении применяют три основных типа линий (сплошные, штриховые и штрихпунктирные) различной толщины (рис. 76).
Расположение видов (проекций)
В черчении применяются шесть видов, которые изображены на рисунке 85. На рисунке показаны проекции буквы «Л».
Отступление от приведенных правил расположения видов
В некоторых случаях допускаются отступления от правил построения проекций. Среди этих случаев можно выделить следующие: частичные виды и виды, расположенные без проекционной связи с другими видами.
Число проекций, определяющих данное тело
Положение тел в пространстве, форма и размеры определяются обычно небольшим числом соответствующим образом подобранных точек.
Если при изображении проекции какого-то тела обращать внимание
Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций
На рисунке 91 дана ось вращения I, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости, и произвольно расположенная в пространстве точка А. При вращении около оси I эта точка опис
Определение натуральной величины отрезка путем вращения
Отрезок, параллельный какой-нибудь плоскости проекций, проецируется на нее без искажения. Если повернуть отрезок таким образом, чтобы он стал параллельным одной из плоскостей проекций, то можно опр
Построение проекций фигуры сечения можно выполнить двояко
1. Можно найти точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью, после чего соединить проекции найденных точек. В результате этого получатся проекции искомого многоугольника. В этом случае це
Пирамида
На рисунке 98 показано пересечение поверхности пирамиды фронтально-проектирующей плоскостью Р. На рисунке 98б изображена фронтальная проекция а точки встречи ребра KS с плоскостью
Косые сечения
Под косыми сечениями понимают круг задач на построение натуральных видов сечений рассматриваемого тела проецирующейся плоскостью. Для выполнения косого сечения необходимо расчленит
Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью
Пусть требуется построить сечение поверхности конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р, которая параллельна плоскости V.
На рисунке 103 показана фронтальная
Сечение поверхности цилиндра
Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:
1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основ
Сечение поверхности конуса
В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину (рис. 107в). Образующие одной полости представляют собой продолжение об
Сечение поверхности шара
Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы б
Косые сечения
Пусть требуется построить натуральный вид сечения фронтально-проецирующей плоскостью тела. На рисунке 110а рассматривается тело, ограниченное тремя цилиндрическими поверхностями (1, 3 и 6), поверхн
Пирамида
Чтобы найти следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности тела этой плоскостью. Искомыми будут
Цилиндрическая винтовая линия
Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскос
Два тела вращения
Метод проведения вспомогательных плоскостей применяется при построении линии пересечения поверхностей двух тел вращения. Суть этого метода заключается в следующем. Проводят вспомогательную плоскост
Сечения
Существуют некоторые определения и правила, которые относятся к сечениям.
Сечение – это плоская фигура, которая была получена в результате пересечения данного тела некотор
Разрезы
Определения и правила, которые относятся к разрезам.
Разрез – это такое условное изображение предмета, когда его часть, находящаяся между глазом наблюдателя и секущей плос
Частичный разрез или вырыв
Разрез называется полным, если изображаемый предмет рассекается целиком, остальные разрезы называются частичными, или вырывами. На рисунке 120 на виде слева и на плане сделаны полные разрезы. Приче
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. |
| Рубрика (тематическая категория) | Геология |
Две плоскости в пространстве могут располагаться либо параллельно друг другу, либо пересекаться.
Параллельные плоскости . В проекциях с числовыми отметками признаком параллельности плоскостей на плане служит параллельность их горизонталей, равенство заложений и совпадение направлений падения плоскостей: пл. S || пл. L - h S || h L , l S = l L , пад. I. (рис.3.11).
В геологии плоское однородное тело, сложенное какой-либо породой, называют слоем. Слой ограничен двумя поверхностями, верхнюю из которых называют кровлей, а нижнюю – подошвой. В случае если слой рассматривается на сравнительно небольшой протяженности, то кровлю и подошву приравнивают к плоскостям, получая в пространстве геометрическую модель двух параллельных наклонных плоскостей.
Плоскость S - кровля, а плоскость L - подошва слоя (рис.3.12, а ). В геологии кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой называют истинной мощностью (на рис.3.12, а истинная мощность обозначена буквой H). Помимо истинной мощности, в геологии используют и другие параметры слоя горной породы: вертикальную мощность – H в, горизонтальную мощность – L, видимую мощность – H вид. Вертикальной мощностью в геологии называют расстояние от кровли до подошвы слоя, измеренное по вертикали. Горизонтальная мощность слоя есть кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой, измеренное в горизонтальном направлении. Видимая мощность – кратчайшее расстояние между видимым падением кровли и подошвы (видимым падением называют прямолинейное направление на структурной плоскости, т. е. прямую, принадлежащую плоскости). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, видимая мощность всегда больше истинной. Следует отметить, что у горизонтально залегающих слоев истинная мощность, вертикальная и видимая совпадают.
Рассмотрим прием построения параллельных плоскостей S и L, отстоящих друг от друга на заданном расстоянии (рис.3.12, б ).
На плане пересекающимися прямыми m и n задана плоскость S. Необходимо построить плоскость L, параллельную плоскости S и отстоящую от нее на расстоянии 12 м (т. е. истинная мощность – H = 12 м). Плоскость L расположена под плоскостью S (плоскость S - кровля слоя, плоскость L - подошва).
1) Плоскость S задают на плане проекциями горизонталей.
2) На масштабе заложений строят линию падения плоскости S - u S . На перпендикуляре к линии u S откладывают заданное расстояние 12 м (истинную мощность слоя H). Ниже линии падения плоскости S и параллельно ей проводят линию падения плоскости L - u L . Определяют расстояние между линиями падения обеих плоскостей в горизонтальном направлении, т. е. горизонтальную мощность слоя L.
3) Отложив на плане горизонтальную мощность от горизонтали h S , параллельно ей проводят горизонталь плоскости L с той же числовой отметкой h L . Следует обратить внимание на то, что если плоскость L расположена под плоскостью S, то горизонтальную мощность следует откладывать в направлении восстания плоскости S.
4) Исходя из условия параллельности двух плоскостей, на плане проводят горизонтали плоскости L.
Пересекающиеся плоскости . Признаком пересечения двух плоскостей обычно служит параллельность на плане проекций их горизонталей. Линию пересечения двух плоскостей в данном случае определяют точками пересечения двух пар одноименных (имеющих одинаковые числовые отметки) горизонталей (рис.3.13): ; . Соединив полученные точки N и M прямой m , определяют проекцию искомой линии пересечения. В случае если плоскость S (A, B, C) и L(mn) заданы на плане не горизонталями, то для построения их линии пересечения t крайне важно построить две пары горизонталей с одинаковыми числовыми отметками, которые в пересечении и определят проекции точек R и F искомой прямой t (рис.3.14). На рис.3.15 представлен случай, когда у двух пересекающихся
плоскостей S и L горизонтали параллельны. Линией пересечения таких плоскостей будет горизонтальная прямая h . Стоит сказать, что для нахождения точки A, принадлежащей этой прямой, проводят произвольную вспомогательную плоскость T, которая пересекает плоскости S и L. Плоскость T пересекает плоскость S по прямой а (C 1 D 2), а плоскость L - по прямой b (K 1 L 2).
Точка пересечения прямых а и b , принадлежащих соответственно плоскостям S и L, будет общей для этих плоскостей: =А. Отметку точки А можно определить, проинтерполировав прямые a и b . Остается провести через A горизонтальную прямую h 2,9 , которая и является линией пересечения плоскостей S и L.
Рассмотрим еще один пример (рис.3.16) построения линии пересечения наклонной плоскости S с вертикальной плоскостью Т. Искомая прямая m определяется точками A и B, в которых горизонтали h 3 и h 4 плоскости S пересекают вертикальную плоскостью T. Из чертежа видно, что проекция линии пересечения совпадает с проекцией вертикальной плоскости: m º T. В решении геологоразведочных задач сечение одной или группы плоскостей (поверхностей) вертикальной плоскостью принято называть разрезом. Построенную в рассматриваемом примере дополнительную вертикальную проекцию прямой m называют профилем разреза, выполненного плоскостью T по заданному направлению.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ." 2017, 2018.
В силу аксиомы: две плоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую - возможны лишь два случая расположения плоскостей: 1) плоскости имеют общую прямую, т. е. пересекаются; 2) плоскости не имеют ни одной общей точки, такие плоскости называют параллельными. Существование параллельных плоскостей вытекает из следующего построения. Возьмем в плоскости (рис. 331) какие-либо две пересекающиеся прямые а и b.
Через точку М, не принадлежащую плоскости X, проведем прямые а и b, соответственно параллельные данным. Покажем, что плоскость содержащая эти прямые, параллельна плоскости . Действительно, если бы эти плоскости пересекались по некоторой прямой с, то эта прямая, принадлежа плоскости , пересекалась бы по крайней мере с одной из прямых а и такая точка пересечения была бы точкой пересечения одной из этих прямых с плоскостью . Между тем обе прямые по построению параллельны плоскости . Таким образом, предположение о пересечении плоскостей ведет к противоречию. Следовательно, плоскости параллельны. Отсюда следует
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
