Отношение достижимости для вершин орграфа. Орграфы и бинарные отношения. Отношение достижимости вершин орграфа. Матрица достижимости. Связь между отношениями достижимости и смежности Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа

Рассматриваются вопросы достижимости для орграфов и способы нахождения матриц достижимости и контрдостижимости. Рассматривается матричный способ нахождения количества путей между любыми вершинами графа, а также нахождение множества вершин, входящих в путь между парой вершин. Цель лекции: Дать представление о достижимости и контрдостижимости и способах их нахождения

Достижимость и контрдостижимость

Задач, в которых используется понятие достижимости , довольно много.

Вот одна из них. Граф может быть моделью какой-то организации, в которой люди представлены вершинами, а дуги интерпретируют каналы связи. При рассмотрении такой модели можно поставить вопрос, может ли информация от одного лицах i быть передана другому лицух j , т. е. существует ли путь, идущий от вершиных i к вершинех j . Если такой путь существует, то говорят, что вершинах j достижима из вершиных i . Можно интересоваться достижимостью вершиных j из вершиных i только на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины или длина которых меньше наибольшего числа вершин в графе и т. п. задачи.

Достижимость в графе описывается матрицей достижимости R=, i, j=1, 2, ... n, гдеn– число вершин графа, а каждый элемент определяется следующим образом:

r ij =1, если вершинах j достижима изх i ,

r ij =0, в противном случае.

Множество вершин R(x i)графаG, достижимых из заданной вершиныx i , состоит из таких элементовx i , для которых(i, j)-й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрицеRравны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой путeм длины 0. Поскольку прямое отображение 1-го порядкаГ +1 (x i)является множеством таких вершинx j , которые достижимы изx i с использованием путей длины 1, то множествоГ + (Г +1 (x i)) = Г +2 (x i)состоит из вершин, достижимых изx i с использованием путей длины 2. АналогичноГ +p (x i)является множеством вершин, которые достижимы из x i с помощью путей длиныp.

Так как любая вершина графа, которая достижима из x i , должна быть достижима с использованием пути (или путей) длины 0 или 1, или 2, ..., илиp, то множество вершин, достижимых для вершиныx i , можно представить в виде

R (x i) = { x i } Г +1 (x i) Г +2 (x i) ...Г +p (x i).

Как видим, множество достижимых вершин R(x i)представляет собой прямое транзитивное замыкание вершиныx i , т. е.R(x i) = T + (x i). Следовательно, для построения матрицы достижимости находим достижимые множестваR(x i)для всех вершинx i X. Полагая,r ij =1, еслиx j R(x i)иr ij =0в противном случае.

Рис. 4.1. Достижимость в графе: а –граф; б – матрица смежности; в – матрица достижимости; г- матрица контрдостижимости.

Для графа, приведенного на рис. 4.1,а, множества достижимостей находятся следующим образом:

R (х 1) = { х 1 }{ х 2 , х 5 }{ х 2 , х 4 , х 5 }{ х 2 , х 4 , х 5 } = { х 1 , х 2 , х 4 , х 5 },

R (х 2) = { х 2 }{ х 2 , х 4 }{ х 2 , х 4 , х 5 }{ х 2 , х 4 , х 5 } = { х 2 , х 4 , х 5 },

R (х 3) = { х 3 }{ х 4 }{ х 5 }{ х 5 } = { х 3 , х 4 , х 5 },

R (х 4) = { х 4 }{ х 5 }{ х 5 } = { х 4 , х 5 },

R (х 5) = { х 5 }{ х 5 } = { х 5 },

R (х 6) = { х 6 }{ х 3 , х 7 }{ х 4 , х 6 }{ х 3 , х 5 , х 7 }{ х 4 , х 5 , х 6 } = { х 3 , х 4 , х 5 , х 6 , х 7 },

R (х 7) = { х 7 }{ х 4 , х 6 }{ х 3 , х 5 , х 7 }{ х 4 , х 5 , х 6 } = { х 3 , х 4 , х 5 , х 6 , х 7 }.

Матрица достижимости имеет вид, как показано на рис. 4.1,в.Матрицу достижимости можно построить поматрице смежности (рис. 4.1,б), формируя множестваT + (x i)для каждой вершиныx i .

Матрица контрдостижимости Q = [ q ij ],i, j =1, 2, ... n, гдеn– число вершин графа, определяется следующим образом:

q ij =1, если из вершиныx j можно достичь вершинуx i ,

q ij =0, в противном случае.

Контрдостижимым множествомQ (x i)является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достичь вершинуx i . Аналогично построению достижимого множестваR (x i)можно записать выражение дляQ (x i):

Q (x i) = { x i } Г -1 (x i) Г - 2(x i) ...Г -p (x i).

Таким образом, видно, что Q (x i)– это есть не что иное как обратное транзитивное замыкание вершиныx i , т. е.Q (x i) = Т - (x i). Из определений очевидно, что столбец x i матрицыQ(в которомq ij =1, еслиx j Q (x i), иq ij =0в противном случае) совпадает со строкойx i матрицыR, т. е.Q = R T ,гдеR T – матрица, транспонированная кматрице достижимости R.

Матрица контрдостижимости показана на рис. 4.1,г.

Следует отметить, что поскольку все элементы матриц RиQравны 1 или 0, то каждую строку можно хранить в двоичной форме, экономя затраты памяти ЭВМ. МатрицыRиQудобны для обработки на ЭВМ, так как с вычислительной точки зрения основными операциями являются быстродействующие логические операции.

Нахождение множества вершин, входящих в путь

Если необходимо узнать о вершинах графа, входящих в эти пути, то следует вспомнить определения прямого и обратного транзитивных замыканий. Так как T + (x i)– это множество вершин, в которые есть пути из вершиныx i , аT – (х j)– множество вершин, из которых есть пути вx j , тоT + (x i) T – (x j)– множество вершин, каждая из которых принадлежит, по крайней мере, одному пути, идущему отx i кx j . Эти вершины называются существенными или неотъемлемыми относительно двух концевых вершинx i иx j . Все остальные вершины графа называются несущественными или избыточными, поскольку их удаление не влияет на пути отx i кx j .

Рис. 4.2. Орграф

Так для графа на рис. 4.2 нахождение вершин, входящих в путь, например из вершины х 2 в вершинух 4 , сводится к нахождениюТ + (х 2) ={ х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6 },

Т - (х 4) ={ х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 }, и их пересеченияT + (х 2) T – (х 4) ={ х 2 , х 3 , х 4 , х 5 }.

Матричный метод нахождения путей в графах

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Возведем матрицу смежности в квадрат по правилам математики. Каждый элемент матрицы А 2 определяется по формуле

a (2) ik = n j=1 a ij a jk

Слагаемое в формуле равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа a ij иa jk равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенстваa ij = a jk = 1следует существование пути длины 2 из вершиныx i в вершинух k , проходящего через вершинуx j , то (i -й,k-й) элемент матрицыА 2 равен числу путей длины 2, идущих изx i вх k .

В таблице 4.1a представлена матрица смежности графа, изображенного на рис. 4.2. Результат возведения матрицы смежности в квадрат А 2 показан в таблице 4.1б.

Так "1", стоящая на пересечении второй строки и четвертого столбца, говорит о существовании одного пути длиной 2 из вершины х 2 к вершинех 4 . Действительно, как видим вграфе на рис. 4.2, существует такой путь:a 6 , a 5 . "2" в матрицеA 2 говорит о существовании двух путей длиной 2 от вершиных 3 к вершинех 6:a 8 , a 4 иa 10 , a 3 .

Аналогично для матрицы смежности, возведенной в третью степень A 3 (таблица 4.1в),a (3) ik равно числу путей длиной 3, идущих отx i кх k . Из четвертой строки матрицыA 3 видно, что пути длиной 3 существуют: один изх 4 вх 4 (a 9 , a 8 , a 5), один изх 4 в

х 5 (a 9 , a 10 , a 6)и два пути изх 4 вх 6 (a 9 , a 10 , a 3 и a 9 , a 8 , a 4). МатрицаA 4 показывает существование путей длиной 4 (таблица 4.1г).

Таким образом, если a р ik является элементом матрицыA р,тоa р ik равно числу путей (не обязательно орцепей или простых орцепей) длиныр, идущих отx i кх k .

Граф достижимости

Один из первых вопросов, возникающих при изучении графов, это вопрос о существовании путей между заданными или всеми парами вершин. Ответом на этот вопроc - введенное выше отношение достижимости на вершинах графа G=(V,E): вершина w достижима из вершины v, если v = w или в G есть путь из v в w. Иначе говоря, отношение достижимости является рефлексивным и транзитивным замыканием отношения E. Для неориентированных графов это отношение также симметрично и, следовательно, является отношением эквивалентности на множестве вершин V. В неориентированном графе классы эквивалентности по отношению достижимости называются связными компонентами. Для ориентированных графов достижимость, вообще говоря, не должна быть симметричным отношением. Симметричной является взаимная достижимость.

Определение 9.8. Вершины v и w ориентированного графа G=(V,E) называются взаимно достижимыми, если в G есть путь из v в w и путь из w в v.

Ясно, что отношение взаимной достижимости является рефлексивным, симметричным и транзитивным и, следовательно, эквивалентностью на на множестве вершин графа. Классы эквивалентности по отношению взаимной достижимости называются компонентами сильной связности или двусвязными компонентами графа.

Рассмотрим вначале вопрос о построении отношения достижимости. Определим для каждого графа его граф достижимости (называемый иногда также графом транзитивного замыкания), ребра которого соответствуют путям исходного графа.

Определение 9.9. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф. Граф достижимости G * =(V,E *) для G имеет то же множество вершин V и следующее множество ребер E * ={ (u, v) | в графе G вершина v достижима из вершины u}.

Пример 9.3. Рассмотрим граф G из примера 9.2.

Рис. 9.2. Граф G

Тогда можно проверить, что граф достижимости G* для G выглядит так (новые ребра-петли при каждой из вершин 1-5 не показаны):

Рис. 9.3. Граф G*

Каким образом по графу G можно построить граф G * ? Один способ заключается в том, чтобы для каждой вершины графа G определить множество достижимых из нее вершин, последовательно добавляя в него вершины, достижимые из нее путями длины 0, 1, 2 и т.д.

Мы рассмотрим другой способ, основанный на использовании матрицы смежности A G графа G и булевых операций. Пусть множество вершин V={v 1 , … , v n }. Тогда матрица A G - это булева матрица размера n × n.

Ниже для сохранения сходства с обычными операциями над матрицами мы будем использовать "арифметические" обозначения для булевых операций: через + будем обозначать дизъюнкцию , а через · - конъюнкцию .

Обозначим через E n единичную матрицу размера n × n. Положим . Пусть Наша процедура построения G * основана на следующем утверждении.

Лемма 9.2. Пусть . Тогда

Доказательство проведем индукцией по k.

Базис. При k=0 и k=1 утверждение справедливо по определению и .

Индукционный шаг. Пусть лемма справедлива для k. Покажем, что она остается справедливой и для k+1. По определению имеем:

Предположим, что в графе G из v i в v j имеется путь длины k+1. Рассмотрим кратчайший из таких путей. Если его длина k, то по предположению индукции a_{ij}^{(k)}=1. Кроме того, a jj (1) =1. Поэтому a ij (k) a jj (1) =1 и a ij (k+1) =1. Если длина кратчайшего пути из из v i в v j равна k+1, то пусть v r - его предпоследняя вершина. Тогда из v i в v r имеется путь длины k и по предположению индукции a ir (k) =1. Так как (v r ,v j) E, то a_{rj}^{(1)}=1. Поэтому a ir (k) a rj (1) =1 и a ij (k+1) =1.

Обратно, если a ij (k+1) =1, то хотя бы для одного r слагаемое a ir (k) a rj (1) в сумме равно 1. Если это r=j, то a ij (k) =1 и по индуктивному предположению в G имеется путь из v i в v j длины k. Если же r j, то a ir (k) =1 и a rj (1) =1. Это означает, что в G имеется путь из v i в v r длины k и ребро (v r ,v j) E. Объединив их, получаем путь из v i в v j длины k+1.

Из лемм 9.1 и 9.2 непосредственно получаем

Следствие 1. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф с n вершинами, а G * - его граф достижимости. Тогда A_{G*} = . Доказательство. Из леммы 5.1 следует, что, если в G имеется путь из u в v u, то в нем имеется и простой путь из u в v длины n-1. А по лемме 5.2 все такие пути представлены в матрице .

Таким образом процедура построения матрицы смежности A G* графа достижимости для G сводится к возведению матрицы в степень n-1. Сделаем несколько замечаний, позволяющих упростить эту процедуру.

где k - это наименьшее число такое, что 2 k n.

обнаруживается такое r, что a ir = 1 и a rj =1, то и вся сумма a ij (2) =1. Поэтому остальные слагаемые можно не рассматривать.

Пример 9.3. Рассмотрим в качестве примера вычисление матрицы графа достижимости A G* для графа G, представленного на рис.9.2 . В этом случае

Так как у G имеется 6 вершин, то . Вычислим эту матрицу:

и (последнее равенство нетрудно проверить). Таким образом,

Как видим, эта матрица действительно задает граф , представленный на рис.9.3 .

Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа

По аналогии с графом достижимости определим граф сильной достижимости.

Определение 9.10. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф. Граф сильной достижимости G * * =(V,E * *) для G имеет то же множество вершин V и следующее множество ребер E * * ={ (u, v) | в графе G вершины v и u взаимно достижимы}.

По матрице графа достижимости легко построить матрицу графа сильной достижимости. Действительно из определений достижимости и сильной достижимости непосредственно следует, то для всех пар (i,j), 1 i,j n, значение элемента равно 1 тогда и только тогда, когда оба элемента A G* (i, j) и A G* (j, i) равны 1, т.е.

По матрице можно выделить компоненты сильной связности графа G следующим образом.

Поместим в компоненту K 1 вершину v 1 и все такие вершины v j , что A_{G_*^*}(1,j) = 1.

Пусть уже построены компоненты K 1 , …, K i и v k - это вершина с минимальным номером, еще не попавшая в компоненты. Тогда поместим в компоненту K_{i+1} вершину v k и все такие вершины v j ,

что A_{G_*^*}(k,j) = 1.

Повторяем шаг (2) до тех пор, пока все вершины не будут распределены по компонентам.

В нашем примере для графа G на рис.2 по матрице получаем следующую матрицу графа сильной достижимости

Используя описанную выше процедуру, находим, что вершины графа G разбиваются на 4 компоненты сильной связности: K 1 = {v 1 , v 2 , v 3 }, \ K 2 ={ v 4 }, \ K 3 ={ v 5 }, \ K 4 ={ v 6 }. На множестве компонент сильной связности также определим отношение достижимости.

Определение 9.11. Пусть K и K" - компоненты сильной связности графа G. Компонента K достижима из компоненты K^\prime, если K= K" или существуют такие две вершины u K и v K", что u достижима из v. K строго достижима из K^\prime, если K K" и K достижима из K". Компонента K называется минимальной, если она не является строго достижимой ни из какой компоненты.

Так как все вершины в одной компоненте взаимно достижимы, то нетрудно понять, что отношения достижимости и строгой достижимости на компонентах не зависят от выбора вершин u K и v K".

Из определения легко выводится следующая характеристика строгой достижимости.

Лемма 9.3. Отношение строгой достижимости является отношением частичного порядка, т.е. оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Это отношение можно представлять в виде ориентированного графа, вершинами которого являются компоненты, а ребро (K", K) означает, что K строго достижима из K". На рис. 9.4 показан этот граф компонент для рассматриваемого выше графа G.

Рис. 9.4.

В данном случае имеется одна минимальная компонента K 2 .

Во многих приложениях ориентированный граф представляет собой сеть распространения некоторого ресурса: продукта, товара, информации и т.п. В таких случаях естественно возникает задача поиска минимального числа таких точек (вершин), из которых этот ресурс может быть доставлен в любую точку сети.

Определение 9.12. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф. Подмножество вершин W V называется порождающим , если из вершин W можно достичь любую вершину графа. Подмножество вершин W V называется базой графа, если оно является порождающим, но никакое его собственное подмножество порождающим не является.

Следующая теорема позволяет эффективно находить все базы графа.

Теорема 9.1. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф. Подмножество вершин W V является базой G тогда и только тогда, когда содержит по одной вершине из каждой минимальной компоненты сильной связности G и не содержит никаких других вершин.

Доказательство Заметим вначале, что каждая вершина графа достижима из вершины, принадлежащей некоторой минимальной компоненте. Поэтому множество вершин W, содержащих по одной вершине из каждой минимальной компоненты, является порождающим а при удалении из него любой вершины перестает быть таковым, так как вершины из соответствующей минимальной компоненты становятся недостижимы. Поэтому W является базой.

Обратно, если W является базой, то оно обязано включать хотя бы по одной вершине из каждой минимальной компоненты, иначе вершины такой минимальной компоненты окажутся недоступны. Никаких других вершин W содержать не может, так как каждая из них достижима из уже включенных вершин.

Из этой теоремы вытекает следующая процедура построения одной или перечисления всех баз графа G.

Найти все компоненты сильной связности G.

Определить порядок на них и выделить минимальные относительно этого порядка компоненты.

Породить одну или все базы графа, выбирая по одной вершине из каждой минимальной компоненты.

Пример 9.5. Определим все базы ориентированного графа G, показанного на рис.9.5 .

Рис. 9.5. Граф G

На первом этапе находим компоненты сильной связности G:

На втором этапе строим граф строгой достижимости на этих компонентах.

Рис. 9.6. Граф отношения достижимости на компонентах G

Определяем минимальные компоненты: K 2 = { b }, K 4 ={ d,e, f, g} и K 7 = { r}.

Наконец перечисляем все четыре базы G: B 1 = { b, d, r}, B 2 = { b, e, r}, B 3 = { b, f, r} и B 1 = { b, g, r}.

Задачи

Задача 9.1. Докажите, что сумма степеней всех вершин произвольного ориентированного графа четна.

У этой задачи имеется популярная интерпретация: доказать, что общее число рукопожатий, которыми обменялись люди, пришедшие на вечеринку, всегда четно.

Задача 9.2. Перечислите все неизоморфные неориентированные графы, у которых не более четырех вершин.

Задача 9.3. Докажите, что неориентированный связный граф остается связным после удаления некоторого ребра ↔ это ребро принадлежит некоторому циклу.

Задача 9.4. Докажите, что неориентированный связный граф с n вершинами

содержит не менее n-1 ребер,

если содержит больше n-1 ребер, то имеет, по крайней мере, хотя бы один цикл.

Задача 9.5. Докажите, что в любой группе из 6 человек есть трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

Задача 9.6. Докажите, что неориентированный граф G=(V,E) связен ↔ для каждого разбиения V= V 1 V 2 с непустыми V 1 и V 2 существует ребро, соединяющее V 1 с V 2 .

Задача 9.7. Докажите, что, если в неориентированном графе имеется ровно две вершины нечетной степени, то они связаны путем.

Задача 9.8. Пусть G=(V,E) неориентированный граф с |E| < |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Задача 9.9. Докажите, что в связном неориентированном графе любые два простых пути максимальной длины имеют общую вершину.

Задача 9.10. Пусть неориентированный граф без петель G=(V,E) имеет k компонент связности. Доказать, что тогда

Задача 9.11. Определите, что представляет из себя граф достижимости для

графа с n вершинами и пустым множеством ребер;

графа с n вершинами: V= {v 1 ,… , v n }, ребра которого образуют цикл:

Задача 9.12. Вычислите матрицу графа достижимости для графа

и постройте соответствующий ей граф достижимости. Найдите все базы графа G.

Задача 9.13. Построить для заданного на рис. 9.7 ориентированного графа G 1 =(V,E) его матрицу смежности A G1 , матрицу инцидентности B G1 и списки смежности. Вычислить матрицу достижимости A G1* и построить соответствующий граф достижимости G 1 * .

Рис. 9.7.

Неориентированные и ориентированные деревья

Деревья являются одним из интереснейших классов графов, используемых для представления различного рода иерахических структур.

Определение 10.1. Неориентированный граф называется деревом, если он связный и в нем нет циклов.

Определение 10.2. Ориентированный граф G=(V,E) называется (ориентированным) деревом, если

На рис. 10.1 показаны примеры неориентированного дерева G 1 и ориентированного дерева G 2 . Обратите внимание на то, что дерево G 2 получено из G 1 с помощью выбора вершины c в качестве корня и ориентации всех ребер в направлении "от корня".

Рис. 10.1. Неориентированное и ориентированное деревья

Это не случайно. Докажите самостоятельно следующее утверждение о связи между неориентированными и ориентированными деревьями.

Лемма 10.1. Если в любом неориентированном дереве G=(V,E) выбрать произвольную вершину v V в качестве корня и сориентировать все ребра в направлении "от корня", т.е. сделать v началом всех инцидентных ей ребер, вершины, смежные с v - началами всех инцидентных им еще не сориентированных ребер и т.д., то полученый в результате ориентированный граф G" будет ориентированным деревом.

Неориентированные и ориентированные деревья имеют много эквивалентных характеристик.

Теорема 10.1. Пусть G=(V,E) - неориентированный граф. Тогда следующие условия эквивалентны.

G является деревом.

Для любых двух вершин в G имеется единственный соединяющий их путь.

G связен, но при удалении из E любого ребра перестает быть связным.

G связен и |E| = |V| -1.

G ациклический и |E| = |V| -1.

G ациклический, но добавление любого ребра к E порождает цикл.

Доказательство (1) (2): Если бы в G некоторые две вершины соединялись двумя путями, то, очевидно, в G имеелся бы цикл. Но это противоречит определению дерева в (1).

(2) (3): Если G связен, но при удалении некоторого ребра (u,v) E не теряет связности, то между u и v имеется путь, не содержащий это ребро. Но тогда в G имеется не менее двух путей, соединяющих u и v, что противоречит условию (2).

(3) (4): Предоставляется читателю (см. задачу 9.4).

(4) (5): Если G содержит цикл и является связным, то при удалении любого ребра из цикла связность не должна нарушиться, но ребер останется |E|= V -2, а по задаче 9.4(а) в связном графе должно быть не менее V -1 ребер. Полученное противоречие показывает, что циклов в G нет и выполнено условие (5).

(5) (6): Предположим, что добавление ребра (u,v) к E не привело к появлению цикла. Тогда в G вершины u и v находятся в разных компонентах связности. Так как |E|= V -1, то в одной из этих компонент, пусть это (V 1 ,E 1), число ребер и число вершин совпадают: |E 1 |=|V 1 |. Но тогда в ней имеется цикл (см. задачу 9.4 (б)), что противоречит ацикличности G.

(6) (1): Если бы G не был связным, то нашлись бы две вершины u и v из разных компонент связности. Тогда добавление ребра (u,v) к E не привелобы к появлению цикла, что противоречит (6). Следовательно, G связен и является деревом.

Для ориентированных деревьев часто удобно использовать следующее индуктивное определение.

Определение 10.3. Определим по индукции класс ориентированных графов , называемых деревьями. Одновременно для каждого из них определим выделенную вершину - корень.

Рис. 10.2 иллюстрирует это определение.

Рис. 10.2. Индуктивное определение ориентированных деревьев

Теорема 10.2. Определения ориентированных деревьев 10.2 и 10.3 эквивалентны.

Доказательство Пусть граф G=(V,E) удовлетворяет условиям определения 10.2. Покажем индукцией по числу вершин |V|, что .

Если |V|=1, то единственная вершина v V является по свойству (1) корнем дерева, т.е. в этом графе ребер нет: E = . Тогда .

Предположим, что всякий граф с n вершинами, удовлетворяющий определению 10.2 входит в . Пусть граф G=(V,E) с (n+1)-й вершиной удовлетворяет условиям определения 10.2. По условию (1) в нем имеется вершина-корень r 0 . Пусть из r 0 выходит k ребер и они ведут в вершины r 1 , … , r k (k 1). Обозначим через G i ,(i=1, …, k) граф, включающий вершины V i ={ v V|v \textit{ достижима из }r i } и соединяющие их ребра E i E. Легко понять, что G i удовлетворяет условиям условиям определения 10.2. Действительно, в r i не входят ребра, т.е. эта вершина - корень G i . В каждую из остальных вершин из V i входит по одному ребру как и в G . Если v V i , то она достижима из корня r i по определению графа G i . Так как |V i | n, то по индуктивному предположению . Тогда граф G получен по индуктивному правилу (2) определения 10.3 из деревьев G 1 , …, G k и поэтому принадлежит классу .

⇐ Если некоторый граф G=(V,E) входит в класс , то выполнение условий (1)-(3) определения 10.2 для него легко установить индукцией по определению 10.2. Предоставляем это читателю в качестве упражнения.

С ориентированными деревьями связана богатая терминология, пришедшая из двух источников: ботаники и области семейных отношений.

Корень - это единственная вершина, в которую не входят ребра, листья - это вершины, из которых не выходят ребра. Путь из корня в лист называется ветвью дерева. Высота дерева - это максимальная из длин его ветвей. Глубина вершины - это длина пути из корня в эту вершину. Для вершины v V, подграф дерева T=(V,E), включающий все достижимые из v вершины и соединяющие их ребра из E, образует поддерево T v дерева T с корнем v (см. задачу 10.3). Высота вершины v - это высота дерева T v . Граф, являющийся объединением нескольких непересекающихся деревьев, называется лесом.

Если из вершины v ведет ребро в вершину w, то v называется отцом w, а w - сыном v (в последнее время в ангоязычной литературе употребляется асексульная пара терминов: родитель - ребенок). Из определения дерева непосредственно следует, что у каждой вершины кроме корня имеется единственный отец. Если из вершины v ведет путь в вершину w, то v называется предком w, а w - потомком v. Вершины, у которых общий отец, называются братьями или сестрами .

Выделим еще один класс графов, обобщающий ориентированные деревья - ориентированные ациклические. Два вида таких размеченных графов будут использованы далее для представления булевых функций. У этих графов может быть несколько корней - вершин, в которые не входят ребра, и в каждую вершину может входить несколько ребер, а не одно, как у деревьев.

Задач, в которых используется понятие достижимости , довольно много. Вот одна из них. Граф может быть моделью какой-то организации, в которой люди представлены вершинами, а дуги интерпретируют каналы связи. При рассмотрении такой модели можно поставить вопрос, может ли информация от одного лица х i быть передана другому лицу х j , т. е. существует ли путь , идущий от вершины х i к вершине х j . Если такой путь существует, то говорят, что вершина х j достижима из вершины х i . Можно интересоваться достижимостью вершины х j из вершины х i только на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины или длина которых меньше наибольшего числа вершин в графе и т. п. задачи.

Достижимость в графе описывается матрицей достижимости R=, i, j=1, 2, ... n , где n – число вершин графа, а каждый элемент определяется следующим образом:

r ij =1 , если вершина х j достижима из х i ,

r ij =0 , в противном случае.

Множество вершин R(x i) графа G , достижимых из заданной вершины x i , состоит из таких элементов x j , для которых (i, j) -й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрице R равны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой путeм длины 0. Поскольку прямое отображение 1-го порядка Г +1 (x i) является множеством таких вершин x j , которые достижимы из x i с использованием путей длины 1, то множество Г + (Г +1 (x i)) = Г +2 (x i) состоит из вершин, достижимых из x i с использованием путей длины 2. Аналогично Г +p (x i) является множеством вершин, которые достижимы из x i с помощью путей длины p .

Так как любая вершина графа, которая достижима из x i , должна быть достижима с использованием пути (или путей) длины 0 или 1, или 2, ..., или p , то множество вершин , достижимых для вершины x i , можно представить в виде

Как видим, множество достижимых вершин R(x i) представляет собой прямое транзитивное замыкание вершины x i , т. е. R (x i) = T + (x i) . Следовательно, для построения матрицы достижимости находим достижимые множества R (x i) для всех вершин . Полагая, r ij =1 , если и r ij =0 в противном случае.

Для графа, приведенного на рис. 4.1 ,а, множества достижимостей находятся следующим образом:

Матрица достижимости имеет вид, как показано на рис. 4.1 ,в. Матрицу достижимости можно построить по матрице смежности ( рис. 4.1 ,б), формируя множества T + (x i) для каждой вершины x i .

Матрица контрдостижимости Q = [ q ij ], i, j =1, 2, ... n , где n – число вершин графа, определяется следующим образом:

q ij =1 , если из вершины x j можно достичь вершину x i ,

q ij =0 , в противном случае.

По аналогии с графом достижимости определим граф сильной достижимости.

Определение: Пусть– ориентированный граф.Граф сильной достижимости
дляимеет тоже множество вершини следующее множество рёбер
в графевершиныивзаимно достижимы.

По матрице графа достижимости
легко построить матрицу
графа сильной достижимости. Действительно из определений достижимости и сильной достижимости непосредственно следует, то для всех пар
,
, значение элемента
равно 1 тогда и только тогда, когда оба элемента
и
равны 1, т.е.

По матрице
можно выделить компоненты сильной связности графаследующим образом:

Повторяем второй шаг до тех пор, пока все вершины не будут распределены по компонентам.

В нашем примере для графа примера 14.1. по матрице
получаем следующую матрицу графа сильной достижимости

Используя описанную выше процедуру, находим, что вершины графа разбиваются на 4 компоненты сильной связности:
,
,
,
. На множестве компонент сильной связности также определим отношение достижимости.

Определение: Пусть
и
– компоненты сильной связности графа. Компонента
достижима из компоненты
, если
или существуют такие две вершины
и
, чтодостижима из.
строго достижима из
, если
и
достижима из
. Компонента
называется минимальной, если она не является строго достижимой ни из какой компоненты.

Так как все вершины в одной компоненте взаимно достижимы, то нетрудно понять, что отношения достижимости и строгой достижимости на компонентах не зависят от выбора вершин
и
.

Из определения легко выводится следующая характеристика строгой достижимости.

Лемма: Отношение строгой достижимости является отношением частичного порядка, т.е. оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Это отношение можно представлять в виде ориентированного графа, вершинами которого являются компоненты, а ребро
означает, что
строго достижима из
. Ниже показан граф компонент для графа примера 14.1.

В данном случае имеется одна минимальная компонента
.

Во многих приложениях ориентированный граф представляет собой сеть распространения некоторого ресурса: продукта, товара, информации и т.п. В таких случаях естественно возникает задача поиска минимального числа таких точек (вершин), из которых этот ресурс может быть доставлен в любую точку сети.

Определение: Пусть
- ориентированный граф. Подмножество вершин
называетсяпорождающим , если из вершин
можно достичь любую вершину графа. Подмножество вершин
называется базой графа, если оно является порождающим, но никакое его собственное подмножество порождающим не является.

Следующая теорема позволяет эффективно находить все базы графа.

Теорема: Пусть
- ориентированный граф. Подмножество вершин
является базой тогда и только тогда, когда содержит по одной вершине из каждой минимальной компоненты сильной связности и не содержит никаких других вершин.

Доказательство: заметим вначале, что каждая вершина графа достижима из вершины, принадлежащей некоторой минимальной компоненте. Поэтому множество вершин
, содержащих по одной вершине из каждой минимальной компоненты, является порождающим, а при удалении из него любой вершины перестаёт быть таковым, так как вершины из соответствующей минимальной компоненты становятся недостижимы. Поэтому
является базой.

Обратно, если
является базой, то оно обязано включать хотя бы по одной вершине из каждой минимальной компоненты, иначе вершины такой минимальной компоненты окажутся недоступны. Никаких других вершин
содержать не может, так как каждая из них достижима из уже включённых вершин.

Из этой теоремы вытекает следующая процедура построения одной или перечисления всех баз графа :

Пример 14.3: Определим все базы ориентированного графа .

На первом этапе находим компоненты сильной связности :

На втором этапе строим граф строгой достижимости на этих компонентах.

Определяем минимальные компоненты:
,
и
.

Наконец перечисляем все четыре базы :
,
,
и
.