С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур , но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.
Примеры таких тел - на рисунке ниже.
В задачах у нас есть криволинейные трапеции, которые вращаются вокруг оси Ox или вокруг оси Oy . Для вычисления объёма тела, образованного вращением криволинейной трапеции, нам понадобятся:
Итак, тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x ) , имеет объём
Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат (Oy ) криволинейной трапеции выражается формулой
При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции - те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.
Пример 1. Ox ) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .
Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1 , b = 4 :
Пример 2. Найти объём шара радиуса R .
Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат -R и R . Следовательно,
Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (Ox ) фигуры, заключённой между параболами и .
Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE . Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны и - абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:
Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).
Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox .
Уравнение окружности LBCD имеет вид
причём уравнение кривой BCD
а уравнение кривой BLD
Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение
Разделы: Математика
Тип урока: комбинированный.
Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.
Задачи:
Ход урока
I. Организационный момент.
Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.
Рефлексия. Спокойная мелодия.
– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”. (Презентация. Слайд )
– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности. “Все в Ваших руках”.
II. Повторение ранее изученного материала.
– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. (Слайд.)
(Учащийся выходит к И.Д.с помощью ластика убирает лишнее слово.)
– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)
– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..
“Математическая гроздь”.
Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает ручкой необходимые слова.)
– Реферат о применении интегралов мы заслушаем позже.
Работа в тетрадях.
– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.
– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.
Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: Построим на координатной плоскости графики функций
.
Выделим площадь фигуры, которую надо найти.
III. Изучение нового материала.
– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд) (На рисунке представлена плоская фигура.)
– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд) (На рисунке представлена объемная фигура.)
– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например объем планеты, каметы, метеорита, и т.д.
– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.
Сообщение студентки. (Тюрина Вера.)
1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)
– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.
– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,
Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”. (Слайд)
– Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.
“Лабиринт”.
Лабиринт (греческое слово) означает ход в подземелье. Лабиринт– запутанная сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений.
Но определение “разбилось”, остались подсказки в виде стрелок.
Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.
Слайд. “Карта инструктаж” Вычисление объемов.
При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.
Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)
Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:
1.
вокруг оси ОХ.
2. 
,
если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.
Карту инструктаж получает каждый студент. Преподаватель подчеркивает основные моменты.
– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.
Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):
…..
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.
Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?
– Рассмотрим следующие задания
1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Ответ: 1163 cm 3 .
Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.
IV. Закрепление нового материала
Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x 2 , y 2 = x.
Построим графики функции. y = x 2 , y 2 = x . График y 2 = x преобразуем к виду y = .
Имеем V = V 1 – V 2 Вычислим объем каждой функции
– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).
– Рассмотрим задачу.
Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы
вокруг
ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где
куб. ед.
Задания по группам. Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.
1-я группа.
Удар! Удар! Ещё удар!
Летит в ворота мячик – ШАР!
А это– шар арбузный
Зелёный, круглый, вкусный.
Вглядитесь лучше – шар каков!
Он сделан из одних кругов.
Разрежьте на круги арбуз
И их попробуйте на вкус.
Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную
Ошибка! Закладка не определена.
– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?
Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд) .
"Цилиндр – что такое?" – спросил я у папы.
Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа.
Чтобы иметь представление верное,
Цилиндр, скажем так, это банка консервная.
Труба парохода – цилиндр,
Труба на нашей крыше – тоже,
Все трубы на цилиндр похожи.
А я привёл пример такой –
Калейдоскоп любимый мой,
Глаз от него не оторвёшь,
И тоже на цилиндр похож.
– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем.
2-я группа. КОНУС (слайд) .
Сказала мама: А сейчас
Про конус будет мой рассказ.
В высокой шапке звездочёт
Считает звёзды круглый год.
КОНУС – шляпа звездочёта.
Вот какой он. Понял? То-то.
Мама у стола стояла,
В бутылки масло разливала.
– Где воронка? Нет воронки.
Поищи. Не стой в сторонке.
– Мама, с места я не тронусь,
Расскажи ещё про конус.
– Воронка и есть в виде конуса лейка.
Ну-ка, найди мне её поскорей-ка.
Воронку я найти не смог,
Но мама сделала кулёк,
Картон вкруг пальца обкрутила
И ловко скрепкой закрепила.
Масло льётся, мама рада,
Конус вышел то, что надо.
Задание. Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс
Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).
Я видел картину. На этой картине
Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне.
Всё в пирамиде необычайно,
Какая-то есть в ней загадка и тайна.
А Спасская башня на площади Красной
И детям, и взрослым знакома прекрасно.
Посмотришь на башню – обычная с виду,
А что на вершине у ней? Пирамида!
Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды
– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.
Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.
– Ну а теперь давайте немного отдохнем.
Найди пару.
Математическое домино мелодия играет.
“Дорога та, что сам искал, вовек не позабудется…”
Исследовательская работа. Применение интеграла в экономике и технике.
Тесты для сильных учащихся и математический футбол.
Математический тренажер.
2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется
А) неопределенным интегралом,
Б) функцией,
В) дифференциацией.
7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
Д/З. Вычислить объемы тел вращения.
Рефлексия.
Приём рефлексии в форме синквейна (пятистишия).
1-я строка – название темы (одно существительное).
2-я строка – описание темы в двух словах, два прилагательных.
3-я строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами.
4-я строка – фраза их четырёх слов, показывает отношение к теме (целое предложение).
5-я строка – синоним, который повторяет суть темы.
Вывод (слайд) .
Выставление оценок. (С комментированием.)
Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:
Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.
I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.
508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипсаВокруг оси Ох.
Таким образом,
530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды у = sin х от точки X = 0 до точки X = It.
531. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой h и радиусом г.
532. Вычислить площадь поверхности, образованной
вращением астроиды х3 -)- у* — а3 вокруг оси Ох.
533. Вычислить площадь поверхности, образованной цращением петли кривой 18 уг — х (6 — х)г вокруг оси Ох.
534. Найти поверхность тора, производимого вращением круга X2 - j - (у—З)2 = 4 вокруг оси Ох.
535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ох.
536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = 9t2, у = St — 9t3 вокруг оси Ох.
537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = е*sint, у = el cost вокруг оси Ox
от t = 0 до t = —.
538. Показать, что поверхность, производимая вращением дуги циклоиды х = a (q> —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.
539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоидыВокруг полярной оси.
540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты
Вокруг полярной оси.
Дополнительные задачи к главе IV
Площади плоских фигур
541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
542. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой
л осями координат.
544. Найти площадь области, содержащейся внутри
петли:
545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:
546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:
547. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
548. Найти площадь области, ограниченной кривой
И осью Ох.
549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr
прямойИ кривой
Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.
Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.
Теорема
2.
,
осью
и отрезками прямых
и
вращается вокруг оси
.
Тогда объём получающегося тела вращения
можно вычислить по формуле
(2)
Доказательство.
Для такого тела сечение с абсциссой
– это круг радиуса
,
значит
и формула (1) даёт требуемый результат.
Если фигура
ограничена графиками двух непрерывных
функций
и
,
и отрезками прямых
и
,
причём
и
,
то при вращении вокруг оси абсцисс
получим тело, объём которого
Пример
3.
Вычислить
объём тора, полученного вращением круга,
ограниченного окружностью 
вокруг оси абсцисс.
Р
ешение.
Указанный круг снизу ограничен графиком
функции
,
а сверху –
.
Разность квадратов этих функций:
Искомый объём
(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).
Пример 4.
Параболический сегмент с основанием
,
и высотой
,
вращается вокруг основания. Вычислить
объём получающегося тела («лимон»
Кавальери).
Р
ешение.
Параболу расположим как показано на
рисунке. Тогда её уравнение
,
причем
.
Найдём значение параметра
:
.
Итак, искомый объём:
Теорема
3.
Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осью
и отрезками прямых
и
,
причём
,
вращается вокруг оси
.
Тогда объём получающегося тела вращения
может быть найден по формуле
(3)
Идея
доказательства.
Разбиваем отрезок
точками
,
на части и проводим прямые
.
Вся трапеция разложится на полоски,
которые можно считать приближенно
прямоугольниками с основанием
и высотой
.
Получающийся при
вращении такого прямоугольника цилиндр
разрежем по образующей и развернём.
Получим «почти» параллелепипед с
размерами:
,
и
.
Его объём
.
Итак, для объёма тела вращения будем
иметь приближенноё равенство
Для получения
точного равенства надо перейти к пределу
при 
.
Написанная выше сумма есть интегральная
сумма для функции 
,
следовательно, в пределе получим интеграл
из формулы (3). Теорема доказана.
Замечание
1.
В теоремах
2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще
нечувствительна к знаку
,
а в формуле (3) достаточно
заменить на
.
Пример
5.
Параболический сегмент (основание
,
высота
)
вращается вокруг высоты. Найти объём
получающегося тела.
Решение.
Расположим
параболу как показано на рисунке. И хотя
ось вращения пересекает фигуру, она –
ось – является осью симметрии. Поэтому
надо рассматривать лишь правую половину
сегмента. Уравнение параболы
,
причем
,
значит
.
Имеем для объёма:
Замечание
2.
Если
криволинейная граница криволинейной
трапеции задана параметрическими
уравнениями
,
,
и
,
то можно использовать формулы (2) и (3) с
заменой
на
и
на
при измененииt
от
до
.
Пример
6.
Фигура
ограничена первой аркой циклоиды
,
,
,
и осью абсцисс. Найти объём тела,
полученного вращением этой фигуры
вокруг: 1) оси
;
2) оси
.
Решение.
1) Общая формула
В нашем случае:
2) Общая формула
Для нашей фигуры:
Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.
Замечание
3.
Пусть
криволинейный сектор, ограниченный
непре-рывной линией
и лучами
,
,
вращается вокруг полярной оси. Объём
получающегося тела можно вычислить по
формуле.
Пример
7.
Часть
фигуры, ограниченной кардиоидой
,
лежащая вне окружности
,
вращается вокруг полярной оси. Найти
объём тела, которое при этом получается.
Решение.
Обе линии, а значит и фигура, которую
они ограничивают, симметричны относительно
полярной оси. Поэтому необходимо
рассматривать лишь ту часть, для которой
.
Кривые пересекаются при
и
при
.
Далее, фигуру можно рассматривать как
разность двух секторов, а значит и объём
вычислять как разность двух интегралов.
Имеем:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Круговой сегмент,
основание которого 
,
высота
,
вращается вокруг основания. Найти объём
тела вращения.
2. Найти объём
параболоида вращения, основание которого
,
а высота равна
.
3. Фигура, ограниченная
астроидой
,
вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела, которое получается при этом.
4. Фигура, ограниченная
линиями
и
вращается вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела вращения.
Пусть линия огранич. плоскую фигуру задана в полярной системе координат.
Пример : Вычислить длину окружности: x 2 +y 2 =R 2
Вычислить длину 4-ой части окружности, расположенной в I квадранте(х≥0, y≥0):
Если
уравнение кривой задано в параметр-ой
форме:
, функции x(t),
y(t) определены
и непрерывны вместе со своими производными
на отрезке [α,β]. Производная
,
тогда сделав подстановку
в
формулу:
и учитывая что
получим
внесем множитель
под
знак корня и получим окончательно
Замечание:
Задана плоская кривая, можно также
рассматривать функцию, заданную
параметр-ки в пространстве, тогда
добавится функция z=z(t)
и формула
Пример: Вычислить длину астроиды, которая задаётся уравнением: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0
Вычислить длину 4-ой части:
по
формуле
Длина
дуги плоской кривой, заданной в полярной
системе координат:
Пусть
в полярной системе координат задано
уравнение кривой:
-
непрерывная функция, вместе со своей
производной на отрезке [α,β].
Формулы перехода от полярных координат:
рассматривать как параметрические:
ϕ -
параметр, по ф-ле
2
Пр:
Вычислить длину кривой:
>0
З -ние: вычислим половину длины окружности:
Объём тела, вычисляемый по площади поперечного сечения тела.
Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости.
Для
определения объёма такого тела разобьём
его на слои с помощью секущих плоскостей,
перпендикулярных к оси Ох и пересекающих
её в точках
.
В каждом частичном промежутке
Объём
тела вращения:
Пусть
тело образовано вращением вокруг оси
Ох криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции y=f(x),
осью Ох и прямыми x=a, x=b. Пусть
функция y=f(x)
определена и непрерывна на отрезке
и
неотрицательна на нем, тогда сечение
этого тела плоскостью, перпендикулярной
Ох есть круг, радиусом R=y(x)=f(x)
. Площадью круга S(x)=Пy 2 (x)=П 2 .Подставляя
формулу
Если
же вокруг оси Оу вращается криволинейная
трапеция, ограниченная графиком
непрерывной на
функцией
,
то объём такого тела вращения: Этот
же объём может быть вычислен по формуле:
Делая
замену переменной получим: Если
линия задана параметрическими уравнениями: y (α)= c ,
y (β)= d .
Делая замену y = y (t)
получим: Вычислить тела
вращения вокруг оси ОУ параболы
, 2)Вычислить V тела вращения
вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,
ограниченной прямой у=0, дугой Площадь поверхности тела вращения
Пусть заданна поверхность образованная
вращением кривой у =f(х)вокруг
оси Ох. Необходимо определить S
этой поверхности при . Пусть функция у =f(х)
определенна и непрерывна, имеет неприр.и
неотрицательна во всех точках отрезка
[а;в] Проведем хорды длины которых
обозначим соответственно (n-хорд) по теореме Лагранжа: Площадь поверхности всей описанной
ломанной будет равна Определение: предел этой суммы, если он
и конечен, когда наибольшее звено ломаной
max
,
называется площадью рассматриваемой
поверхности вращения. Можно доказать, сто предел суммы равен
приделу интегрированной суммы для р-ий
Формула для S поверхности
тела вращения = S поверхности образованной
Вращением дуги кривой х=g(x)
вокруг оси Оу при Непрерывна со своей производной Если кривая заданна параметрически
ур-ми
x
=x(t) ,
y
=
t
(t
)
ф-ии
x
’(t
),
y
’(t
),
x
(t
),
y
(t
)
определенны на отрезке [
a
;
b
],
x
(a
)=
a
,
x
(b
)=
b
то сделав замену переменой
x
=
x
(t
)
Если кривая заданна параметрически
сделав замену в формуле получим:
Если уравнение кривой заданно в
полярной системе координат
S
поверхности вращения
вокруг оси будет равно
пусть
все тело заключено между 2-мя
перпендикулярными к оси Ох плоскостями,
пересекающими её в точках х=а, х=b
(a
.
Выберем
и для каждого значения i=1,….,n
построим цилиндрическое тело, образующая
которого параллельна Ох, а направляющая
представляет собой контур сечения тела
плоскостью х=С i ,
объем такого элементарного цилиндра с
площадью основания S=C i
и высотой ∆х i .
V i =S(C i)∆x i
. Объём всех таких элементарных цилиндров
будет
.
Предел этой суммы, если он существует
и конечен при max ∆х
0 называется объёмом данного тела.
.
Так как V n
интегральная сумма для непрерывной на
отрезке
функции S(x)
то указанный предел существует (т-ма
существования) и выражается опр.
Интегралом.
- объём тела, вычисляемый по площади
поперечного сечения.
получим формулу для вычисления объёма
тела вращения вокруг оси Ох:
.
Если линия задана параметрическими
уравнениями:
.
(с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при
.
