Группа О называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного и того же элемента Этот элемент называется образующей циклической группы О. Любая циклическая группа, очевидно, абелева.

Циклической группой является, например, группа целых чисел по сложению. Эту группу мы будем обозначать символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число - 1). Циклической группой является также группа, состоящая только из одного элемента (единицы).

В произвольной группе О степени любого элемента g составляют циклическую подгруппу с образующей g. Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32) следует, что порядок любого элемента группы делит, порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы являются элементами конечного порядка).

Поэтому для любого элемента g конечной группы порядка имеет место равенство

Это простое замечание часто бывает полезно.

Действительно, если группа О циклическая и ее образующая, то порядок элемента равен . Обратно, если группа О обладает элементом порядка , то среди степеней этого элемента имеется различных, и поэтому эти степени исчерпывают всю группу О.

Мы видим, таким образом, что циклическая группа может иметь несколько различных образующих (именно, любой элемент порядка является образующей).

Задача. Доказать, что любая группа простого порядка является циклической группой.

Задача. Доказать, что циклическая группа порядка имеет ровно образующих, где - число положительных чисел, меньших и взаимно простых с .

Наряду с порядком любой конечной группе можно отнести число - наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Задача. Доказать, что для любой конечной группы О число делит порядок группы.

Очевидно, что для циклической группы число совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем не менее имеет место следующее утверждение, характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых групп:

конечная абелева группа О, для которой число равно ее порядку , является циклической группой.

Действительно, пусть

Порядки всевозможных отличных от единицы элементов конечной абелевой группы О порядка , и пусть - их наименьшее общее кратное.

Разложим число в произведение степеней различных простых чисел:

Пусть Поскольку число является, по определению, наименьшим общим кратным чисел (1), среди этих чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно на т. е. имеющеевид , где b взаимно просто с . Пусть это число является порядком элемента g. Тогда элемент имеет порядок (см. следствие 1) на стр. 29).

Таким образом, для любого в группе О существует хотя бы один элемент порядка Выбрав для каждого один такой элемент, рассмотрим их произведение. Согласно утверждению, доказанному на стр. 29-30, порядок этого произведения равен произведению порядков , т. е. равен числу . Поскольку последнее число по условию равно , тем самым доказано, что в группе О существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа является циклической группой.

Пусть теперь О - произвольная циклическая группа с образующей и Н - некоторая ее подгруппа. Так как любой элемент подгруппы Н является элементом группы О, то его можно представить в виде , где d - некоторое положительное или отрицательное целое число (вообще говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество всех положительных чисел для которых элемент принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто (почему?), то в нем существует наименьшее число Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является степенью элемента . Действительно, по определению, существует такое число d, что (число d может быть и отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число

Так как , то в силу минимальности числа остаток должен быть равен нулю. Таким образом, .

Тем самым доказано, что элемент является образующей группы Н, т. е. что группа Н циклична. Итак, любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Задача. Доказать, что число равно индексу подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если группа О конечна).

Заметим еще, что для любого делителя порядка конечной циклической группы Q в группе О существует одна и только одна подгруппа Н порядка (а именно подгруппа с образующей

Отсюда вытекает, что если конечная циклическая группа проста, то ее порядок является простым числом (или единицей).

Отметим наконец, что любая факторгруппа следовательно, любой гомоморфный образ) циклической группы Q является циклической группой.

Для доказательства достаточно заметить, что образующей группы служит смежный класс содержащий образующую группы О.

В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z является циклической группой. Изучим эти циклические группы более подробно.

Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Я является нормальным делителем. С другой стороны, согласно доказанному выше, подгруппа Н является циклической группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам известны, то мы можем считать подгруппу Н нетривиальной. Пусть число является образующей подгруппы Н. Мы можем считать это число положительным (почему?) и, следовательно, большим единицы.

Подгруппа Н. состоит, очевидно, из всех целых чисел, делящихся на . Поэтому два числа тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н, когда их разность делится на , т. е. когда они сравнимы по модулю (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел, сравнимых между собой по модулю .

Другими словами, факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой (по сложению) классов чисел, сравнимых между собой по модулю . Мы будем эту группу обозначать через Ее образующей является класс, содержащий число 1.

Оказывается, что любая циклическая группа изоморфна либо группе Z (если она бесконечна), либо одной из групп (если ее порядок конечен).

Действительно, пусть - образующая группы О. Определим отображение группы 2 в группу О, полагая

Пусть M – некоторое подмножество группы G. Множество всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним является подгруппой. Она называется подгруппой, порожденной подмножеством M, и обозначается через hMi. В частности, M порождает группу G, если G = hMi. Полезно следующее простое утверждение:

подгруппа H порождена подмножеством M тогда и

Если G = hMi и |M| < ∞, то G называется конечно порожденной .

Подгруппа, порожденная одним элементом a G, называется циклической и обозначается через hai. Если G = hai для некоторого a G, то G также называется циклической. Примеры циклических групп:

1) группа Z целых чисел относительно сложения;

2) группа Z(n) вычетов по модулю n относительно сложения;

ее элементами являются множества всех целых чисел, дающих один и тот же остаток при делении на данное число n Z.

Оказывается, этими примерами исчерпываются все циклические группы:

Теорема 2.1 1) Если G – бесконечная циклическая группа, то

G Z.

2) Если G – конечная циклическая группа порядка n , то

G Z(n).

Порядком элемента a G называется наименьшее натуральное число n, такое что an = 1; если такого числа не существует, то порядок элемента считается равным бесконеччности. Порядок элемента a обозначается через |a|. Отметим, что |hai| = |a|.

2 .1 . Вычислите порядки элементов групп S3 , D4 .

2 .2 . Пусть |G| < ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.

2 .3 . Пусть g G, |g| = n. Докажите, что gm = e тогда и только тогда, когда n делит m.

2 .4 . Пусть |G| = n. Докажите, что an = e для всех a G.

2 .5 . Докажите, что группа четного порядка содержит элемент порядка 2.

2 .6 . Пусть группа G имеет нечетный порядок. Докажите, что для всякого a G найдется b G такой, что a = b2 .

2 .7 . Проверьте, что |x| = |yxy−1 |, |ab| = |ba|, |abc| = |bca| = |cab|.

2 .8 . Пусть a G, |a| = n и b = ak . Докажите, что |b| = n/НОД(n, k);

2 .9 . Пусть ab = ba. Докажите, что НОК(|a|, |b|) делится на |ab|. Приведите пример, когда НОК(|a|, |b|) 6= |ab|.

2 .10 . Пусть ab = ba, НОД(|a|, |b|) = 1. Докажите, что |ab| = |a||b|.

2 .11 . Пусть σ Sn – цикл. Проверьте, что |σ| равен длине σ.

2 .12 . Пусть σ Sn , σ = σ1 . . . σm , где σ1 , . . . , σm – независимые циклы. Проверьте, что |σ| = НОК(|σ1 |, . . . , |σm |).

2 .13 . Цикличны ли группы: а) Sn ;

б) Dn ;

в) µn := {z C | zn = 1}?

2 .14 . Докажите, что если |G| = p – простое число, то G – циклическая.

2 .15 . Докажите, что в неединичной группе G нет собственных подгрупп тогда и только тогда, когда |G| = p, т. е. G изоморфна Z(p) (p – простое число).

2 .16 . Докажите, что если |G| ≤ 5, то G абелева. Опишите группы порядка 4.

2 .17 . Пусть G – циклическая группа порядка n с образующим элементом a. Пусть b = ak . Докажите, что G = hbi тогда и только тогда, когда НОД(n, k) = 1, т.е. число образующих элементов в циклической группе порядка n равно ϕ(n), где ϕ – функция Эйлера :

2 .18 .* Докажите, что

2 .19 . Пусть G – циклическая группа порядка n, m|n. Докажите, что в G существует, причем ровно одна, подгруппа порядка m.

2 .20 . Найдите все образующие групп: а) Z, б) Z(18).

2 .21 . Докажите, что бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.

2 .22 .* Пусть |G| < ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* Пусть F – поле, G – конечная подгруппа в F . Докажите, что G циклична.

Р А З Д Е Л 3

Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Факторгруппы

Отображение групп f: G −→ H называется гомоморфизмом , если f(ab) = f(a)f(b) для любых a, b G (так что изоморфизм

– частный случай гомоморфизма). Часто используются и другие разновидности гомоморфизма:

мономорфизм – инъективный гомоморфизм, эпиморфизм – сюръективный гомоморфизм, эндоморфизм – гомоморфизм в себя, автоморфизм – изоморфизм на себя.

Подмножества

Kerf = {a G | f(a) = 1} G

Imf = {b H | f(a) = b для некоторого a G} H

называются соответственно ядром и образом гомоморфизма f. Очевидно, Kerf и Imf являются подгруппами.

Подгруппа N < G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Верно и обратное: каждая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Чтобы показать это, введем на множестве

16 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

G/N = {aN | a G} смежных классов по нормальной подгруппе N операцию: aN · bN = abN. Тогда G/N превращается в группу, которая называется факторгруппой по подгруппе N. Отображение f: G −→ G/N является эпиморфизмом, причем Kerf = N.

Каждый гомоморфизм f: G −→ H является композицией эпиморфизма G −→ G/Kerf, изоморфизма G/Kerf −→ Imf и мономорфизма Imf −→ H.

3 .1 . Докажите, что данные отображения являются гомоморфиз-

мами групп, и найдите их ядро и образ. а) f: R → R , f(x) = ex ;

б) f: R → C , f(x) = e2πix ;

в) f: F → F (где F – поле), f(x) = ax, a F ; г) f: R → R , f(x) = sgnx;

д) f: R → R , f(x) = |x|; е) f: C → R , f(x) = |x|;

ж) f: GL(n, F) → F (где F – поле), f(A) = det A;

з) f: GL(2, F) → G, где G – группа дробно-линейных функций (см. задачу 1 .8 ), F – поле,

и) f: Sn → {1, −1}, f(σ) = sgnσ.

3 .2 . При каком условии на группу G отображение f: G → G, заданное формулой

а) g 7→g2 б) g 7→g−1 ,

является гомоморфизмом?

3 .3 . Пусть f: G → H – гомоморфизм, a G. Докажите, что |f(a)| делит |a|.

3 .4 . Докажите, что гомоморфный образ циклической группы цикличен.

3 .5 . Докажите, что образ и прообраз подгруппы при гомоморфизме являются подгруппами.

3 .6 . Назовем группы G1 и G2 антиизоморфными, если существует биекция f: G1 → G2 такая, что f(ab) = f(b)f(a) для всех a, b G1 . Докажите, что антиизоморфные группы изоморфны.

3 .7 .* Докажите, что не существует нетривиальных гомоморфизмов Q → Z, Q → Q+ .

3 .8 .* Пусть G – группа, g G. Докажите, что для существования f Hom(Z(m), G) такого, что f(1) = g, необходимо и достаточно, чтобы gm = e.

3 .9 . Опишите

а) Hom(Z(6), Z(18)), б) Hom(Z(18), Z(6)), в) Hom(Z(12), Z(15)), г) Hom(Z(m), Z(n)).

3 .10 . Проверьте, что

α, β R, α2 + β2 6= 0 .

3. 11. (Обобщение теоремы Кэли.) Докажите, что сопоставление элементу a G подстановки xH 7→axH на множестве смежных классах по подгруппе H < G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12. Проверьте, что множество Aut G всех автоморфизмов группы G образует группу относительно композиции.

3. 13. Проверьте, что отображение f g : G → G, f g (x) = gxg −1 , где g G, является автоморфизмом группы G (такие автоморфизмы называют внутренними ). Проверьте, что внутренние автоморфизмы образуют подгруппу Inn G < Aut G.

3 .14 . Найдите группу автоморфизмов а) Z;

б) нециклической группы порядка 4 (см. задачу 2 .16 ); в) S3 ;

18 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

3 .15 . Верно ли, что: а) G C G, E C G;

б) SL(n, F) C GL(n, F);

в) скалярные ненулевые матрицы образуют нормальную подгруппу в GL(n, F);

г) диагональные (верхнетреугольные) матрицы с ненулевыми диагональными элементами образуют нормальную подгруппу в

д) An C Sn ;

е) Inn G C Aut G?

3 .16 . Пусть = 2. Докажите, что H C G.

3 .17 . Пусть M, N C G. Докажите, что M ∩ N, MN C G.

3 .18 . Пусть N C G, H < G. Докажите, что N ∩ H C H.

3 .19 . Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH = HN < G.

3 .20 . Пусть H < G. Докажите, что xHx−1 C G.

3 .21 . Пусть H < K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3 .22 . Пусть M, N C G, M ∩ N = E. Докажите, что M и N поэлементно перестановочны.

3 .23 . Докажите, что:

а) Образ нормальной подгруппы при эпиморфизме нормален; б) Полный прообраз нормальной подгруппы (при любом гомо-

морфизме) нормален.

3 .24 . Проверьте, что G/G E, G/E G.

3 .25 . Докажите, что Z/nZ – циклическая группа порядка n.

3 .26 .* Докажите, что:

г) R /R {1, −1};

е) GL(n, F)/SL(n, F) F ;

где GL+ (n, R) := {A GL(n, R) | det A > 0}.

3 .27 . Докажите, что Q/Z – периодическая группа (т.е. порядок любого ее элемента конечен), которая содержит единственную подгруппу порядка n для каждого натурального n. Каждая такая подгруппа – циклическая.

3 .28 .* Докажите, что: а) C(G) C G,

б) Inn G G/C(G).

3 .29 .* Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* Докажите, что если M C N C G, M C G, то

(G/M)/(N/M) G/N.

3 .31 . Докажите, что если G/C(G) циклическая, то G = C(G) (т.е. G/C(G) = E).

3 .32 . Назовем коммутатором элементов x и y группы G элемент := x−1 y−1 xy. Коммутант группы G – это ее подгруппа G0 , порожденная всеми коммутаторами. Докажите, что:

а) G0 C G;

б) Группа G/G0 абелева;

в) G абелева тогда и только тогда, когда G0 = E.

3 .33 . Пусть N C G. Докажите, что G/N абелева тогда и только тогда, когда N G0 .

3 .34 . Определим по индукции G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . Группа G называется разрешимой , если G(n) = E для некоторого n N. Проверьте, что:

а) подгруппы и факторгруппы разрешимой группы разрешимы;

б) если N C G такова, что N и G/N разрешимы, то G разрешима.

3 .35 . Докажите, что группа G разрешима тогда и только тогда, когда найдется цепочка подгрупп

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

такая, что все факторгруппы Gk /Gk+1 абелевы.

3 .36 . Проверьте, что а) абелевы группы; б) группы S3 и S4 ;

в) подгруппа всех верхнетреугольных матриц в GL(n, F) (где F – поле)

являются разрешимыми.

3 .37 . Пусть G(n) – подгруппа в G, порожденная множеством {gn | g G}. Докажите, что:

а) G(n) C G;

б) G/G(n) имеет период n (т.е. в ней выполнено тождество xn = 1);

в) G имеет период n тогда и только тогда, когда G(n) = E.

3 .38 . Пусть N C G. Докажите, что G/N имеет период n тогда и только тогда, когда N G(n) .

3 .39 . Пусть G – группа (относительно композиции) отображений

φ : R → R вида x 7→ax + b (a 6= 0), H = {φ G | φ : x 7→x + b}. Докажите, что H C G. Чему равна G/H?

3 .40 . Определим на множестве G = Z × Z операцию:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)

Докажите, что G – группа и H = h(1, 0)i C G.

Подгруппы циклических групп

Следующая теорема описывает строение подгрупп циклических групп.

Теорема 1.4. Подгруппа циклической группы циклическая. Если G = (a)uH - неединичная подгруппа группы G,moH = (а п), где п - наименьшее натуральное число, такое что а п е Н.

Доказательство. Пусть G = (а) и Н - подгруппа группы G. Если подгруппа Н единичная, то Н = (е) - циклическая группа. Пусть Н - неединичная подгруппа. Обозначим через п наименьшее натуральное число, такое что а п е Н, и докажем, что Н = (а п). Включение (а п ) с Н очевидно. Докажем обратное включение. Пусть h е Н. Поскольку G = (а), то существует целый показатель к, такой что h = а к. Разделим к на п с остатком: к = nq + г, где 0 п. Если предположить, что г Ф 0, то получим h = а к = а па п ч а г, откуда a r = а~ п чН е Н. Пришли к противоречию с минимальностью показателя п. Следовательно, г = 0 и к - nq. Отсюда h = a k = а п ч е а"). Таким образом, Н с (а п), а значит, Н = (а п). Теорема доказана.

Порождающие элементы циклической группы

Какими элементами может порождаться циклическая группа? Отвечают на этот вопрос следующие две теоремы.

Теорема 1.5. Пусть дана циклическая группа G = (а) бесконечного порядка. Тогда (а) - (а к) тогда и только тогда, когда к - ± 1.

Доказательство. Пусть G = (а), |а| = °° и (а) = (а к). Тогда существует целое число п, такое что а = а кп. Отсюда а*" -1 = е, а так как | а = то кп - 1 = 0. Но тогда кп = 1 ик- ± 1. Обратное утверждение очевидно.

Теорема 1.6. Пусть дана циклическая группа G = (а) порядка т. Тогда (а) = (а к) тогда и только тогда, когда НОД(/с, т) = 1.

Доказательство. (=>) Пусть (а) = (а к), докажем, что НОД(/с, т) - 1. Обозначим НОДЦс, т) - d. Поскольку а е (а) - (а к), то а = а кп при некотором целом п. По свойству порядков элементов отсюда следует, что (1 - кп) : т, т.е. 1 - кп = mt при некотором целом t. Но тогда 1 = (кп + mt) : d, откуда d = 1 и НОД(/с, т) = 1.

(Пусть НОД (к, т) = 1. Докажем, что (а) = (а к). Включение (а к) с (а) очевидно. Обратно, из условия НОД№, т) = 1 следует существование целых чисел и и v, таких что ки + mv = 1. Пользуясь тем, что | а | - т, получаем а = a ku+mv = a ku a mv = а ки е (а к ). Следовательно, (а) = (а к ). Теорема доказана.

Напомним, что функция Эйлера ф(т) определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа т и взаимно простых с т. Отсюда получаем следствие.

Следствие. Циклическая группа (а) порядка т имеет ф(т) различных порождающих элементов.

Для придания геометрической наглядности теореме 1.5 изобразим циклическую группу G = (а) порядка т точками окружности А 0 , А ь..., А т _ ь делящими ее на т равных частей. Элемент а к данной группы, соответствующий точке А к, будет порождающим тогда и только тогда, когда, соединяя последовательно точки А 0 , А к, А 2к и т.д., мы придем в точку А]. Найдем все такие к при т = 10 простым перебором случаев (рис. 1.5). В результате получим к = 1,3, 7, 9. Для циклической группы (а) это означает, что (а) = (а 3) = (а 7) = (а 9). Обратно: найдя к, взаимно простое с данным числом т, можно смело вычерчивать соответствующую «звездочку», твердо зная, что рано или поздно попадешь в каждую точку, ибо (а) = (а к).

Рассмотрим мультипликативную группу всех целых степеней двойки (2Z, ), где 2Z= {2 n | п е Z}. Аналогом этой группы на аддитивном языке является аддитивная группа четных целых чисел (2Z, +), 2Z = {2n | п е Z}. Дадим общее определение групп, частными примерами которых являются данные группы.

Определение 1.8. Мультипликативная группа (G, ) (аддитивная группа (G, +)) называется циклической, если она состоит из всех целых степеней (соответственно, всех целых кратных) одного элемента а е G, т.е. G = {а п | п е Z} (соответственно, G - {па | п е Z}). Обозначение: (а), читается: циклическая группа, порожденная элементом а.

Рассмотрим примеры.

• 1. Примером мультипликативной бесконечной циклической группы может служить группа всех целых степеней некоторого фиксированного целого числа а Ф ±1, она обозначается а г. Таким образом, а г - {а).
• 2. Примером мультипликативной конечной циклической группы является группа С„ корней n-й степени из единицы. Напомним, что корни n-й степени из единицы находятся

по формуле e k = cos---hisin^-, где к = 0, 1, ..., п - 1. Следо- п п

вательно, С„ =(е х)= {е х = 1, е х, ef = е 2 ,..., е" -1 = ?„_ х }. Вспомним, что комплексные числа е к, к = 1, ..., п - 1, изображаются точками единичной окружности, которые делят ее на п равных частей.

• 3. Характерным примером аддитивной бесконечной циклической группы является аддитивная группа целых чисел Z, она порождается числом 1, т.е. Z = (1). Геометрически она изображается в виде целых точек числовой прямой. По существу так же изображается мультипликативная группа 2 7 - = (2), в общем случае a z = (а), где целое число а Ф ±1 (см. рис. 1.3). Это сходство изображений мы обсудим в параграфе 1.6.
• 4. Выберем в произвольной мультипликативной группе G некоторый элемент а. Тогда все целые степени этого элемента образуют циклическую подгруппу (а) = {а п п е Z} G.
• 5. Докажем, что аддитивная группа рациональных чисел Q сама не циклическая, а любые два ее элемента лежат в циклической подгруппе.

А. Докажем, что аддитивная группа Q не циклическая. Предположим противное: пусть Q = (-). Существует целое число Ь,

не делящее т. Поскольку - eQ = (-) = sn-|neZ>, то суще-

Ъ т/ { т J

ствует целое число гс 0 , такое что - = п 0 -. Но тогда т = n 0 kb,

откуда т:Ъ - пришли к противоречию.

Б. Докажем, что два произвольных рациональных числа -

с „ /1

и - принадлежат циклической подгруппе (-), где т есть наи- d т/

меньшее общее кратное чисел b и d. В самом деле, пусть т-Ьи

, а аи 1 /1 с cv 1 /1

и m = av, u, v е Z,тогда - = - = аи -е(-)и - = - = cv- е (-).

b Ьи т т/ a dv т т/

Теорема 1.3. Порядок циклической группы равен порядку порождающего элемента этой группы, т.е. |(а)| = |а|.

Доказательство. 1. Пусть |а| = «>. Докажем, что все натуральные степени элемента а различны. Предположим противное: пусть а к = а т и 0 к Тогда т - к - натуральное число и а т ~ к = е. Но это противоречит тому, что | а =°°. Таким образом, все натуральные степени элемента а различны, откуда следует бесконечность группы (а). Следовательно, | (а)| = °° = |а |.

2. Пусть | а | = п. Докажем, что (а) = {е - а 0 , а, а 2 , ..., а" -1 }. Из определения циклической группы вытекает включение {а 0 , а, а 2 , ..., o" 1-1 } с (а). Докажем обратное включение. Произвольный элемент циклической группы (а) имеет вид а т, где те Z. Разделим шнапс остатком: m-nq + r, где 0 п. Поскольку а п = е, то а т = а п я +г = а п ч? а г = а г е {а 0 , а, а 2 , ..., а"- 1 }. Отсюда (а) с {а 0 , а, а 2 ,..., Таким образом, (а) = {а 0 , а, а 2 ,..., а" -1 }.

Остается доказать, что все элементы множества {а 0 , а, а 2 , ..., а” -1 } различны. Предположим противное: пусть 0 i п, но а" = а). Тогда оН - е и 0 j - i - пришли к противоречию с условием | а | = п. Теорема доказана.