Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize,\) где \({P\left(x \right)}\) и \({Q\left(x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left(x \right)}\) больше степени \({Q\left(x \right)}\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель \({Q\left(x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя ;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left(x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left(x \right)}\)), разделим многочлен \({P\left(x \right)}\) на \({Q\left(x \right)}.\) Получим следующее выражение: \[\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = F\left(x \right) + \frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}},\] где \(\large\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя \({Q\left(x \right)}\) в виде \[ {Q\left(x \right) } = {{\left({x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left({x - b} \right)^\beta }{\left({{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left({{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде: \[ {\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = \frac{A}{{{{\left({x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left({x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{B}{{{{\left({x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left({x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt {+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} \] Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) должно быть равно степени знаменателя \({Q\left(x \right)}.\)
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left(x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: \ \ У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: \[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B"}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\] где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B" = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\) Затем применяются следующие формулы: \ \[ {4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{1}{{2\left({1 - k} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } \] \ Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \) может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью формулы редукции \[ {6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left({k - 1} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left({k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \]
Все вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональной дроби.
1. Если рациональная дробь неправильна, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. п. 2).
Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.
2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.
3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти .
Решение. Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим
Следовательно,
Замечая, что , разложим правильную рациональную дробь
на простейшие дроби:
(см. формулу (18)). Поэтому
Таким образом, окончательно имеем
Пример 2. Найти
Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.
Разлагая ее на простейшие дроби (см. формулу (16)), получим
Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида $$ f(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}, $$ в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.
Если %%m > n \geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной , в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов , неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_{n - m}%% степени %%n - m%% и некоторой правильной дроби, т.е. $$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + \frac{P_l(x)}{Q_n(x)}, $$ где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям :
где %%k > 1%% — целое и %%p^2 - 4q < 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{A}{x - a} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{x - a} = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac{A}{(x - a)^k} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{(x - a)^k} = A \frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \\ &= -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C. \end{array} $$
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе: $$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4}, $$ так как %%p^2 - 4q < 0%%, то %%q - p^2/4 > 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, \mathrm{d}t = \mathrm{d}x%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме $$ \begin{array}{ll} \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x &= \int \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4} \mathrm{d}x = \\ &= \int \frac{A(t - p/2) + B}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t. \end{array} $$
Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем %%t%% под знак дифференциала: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t &= A\int \frac{t \mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + \left(B - \frac{pA}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + a^2\right)}{t^2 + a^2} + - \frac{2B - pA}{2}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{t}{a} + C. \end{array} $$
Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, в итоге для дроби третьего типа получаем $$ \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x = \frac{A}{2} \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{x + p/2}{a} + C, $$ где %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0%%.
Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.
Приводится вывод формул для вычисления интегралов от простейших, элементарных, дробей четырех типов. Более сложные интегралы, от дробей четвертого типа, вычисляются с помощью формулы приведения. Рассмотрен пример интегрирования дроби четвертого типа.
СодержаниеСм. также:
Таблица неопределенных интегралов
Методы вычисления неопределенных интегралов
Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x
можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Здесь a, A, B, b, c
- действительные числа. Уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет действительных корней.
Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов :
,
,
n ≠ - 1
.
Дробь первого типа подстановкой t = x - a
приводится к табличному интегралу:
.
Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x - a
:
.
Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.
Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .
Тогда:
,
где
.
Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.
Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет корней. Поэтому .
Сделаем подстановку
,
.
.
Итак,
.
Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:
,
где .
И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.
4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.
4.2) Вычисляем интеграл
.
4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.
Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в . Обозначим u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
.
.
Но
.
Окончательно имеем:
.
Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в .
Теперь рассмотрим интеграл
.
Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.
Выполняем преобразования и интегрируем по частям.
.
Умножим на 2(n - 1)
:
.
Возвращаемся к x
и I n
.
,
;
;
.
Итак, для I n
мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл I n
к I 1
.
Вычислить интеграл
1.
Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;
.
Здесь
.
2.
Вычисляем интеграл от самой простой дроби.
.
3.
Применяем формулу приведения:
для интеграла .
В нашем случае b = 1
,
c = 1
,
4
c - b 2 = 3
.
Выписываем эту формулу для n = 2
и n = 3
:
;
.
Отсюда
.
Окончательно имеем:
.
Находим коэффициент при .
.
После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.
Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x) (первообразную функции).
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратный корень
Sqrt(x)/(x + 1)
Кубический корень
Cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
X*arcsin(x)
Арккосинус
X*arccos(x)
Применение логарифма
X*log(x, 10)
Натуральный логарифм
Экспонента
Tg(x)*sin(x)
Котангенс
Ctg(x)*cos(x)
Иррациональне дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
X*arctg(x)
Арккотангенс
X*arсctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
Ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x
или |x|
)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e
число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция - экспонента от x
(что и e
^x
)
log(x)
or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x)
, надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)
=log(x)/log(10))
pi
Число - "Пи", которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x)
или x^2
Функция - Квадрат x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5
, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
Другие функции:
floor(x)
Функция - округление x
в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x
в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
